2018國(guó)考行測(cè)備考：寶“倍”兒，“約”么?

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2018國(guó)考行測(cè)備考：寶“倍”兒，“約”么?國(guó)考這個(gè)龐然大物慢慢的就要走到我們的眼前了，現(xiàn)在已經(jīng)聽(tīng)到了它的腳步聲，在這段研究怎么拿下國(guó)考從而讓自己升華的備考時(shí)間里，各個(gè)模塊當(dāng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的部分一定是大家比較頭痛的。那么在接下來(lái)的日子里咱們對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的一些重點(diǎn)題型和重點(diǎn)方法逐一給大家進(jìn)行講解、逐個(gè)擊破。本文給大家講解的是“最大公約數(shù)”與“最小公倍數(shù)”，小學(xué)的時(shí)候我們學(xué)公約數(shù)以及約分的時(shí)候經(jīng)常聽(tīng)老師問(wèn)：“約么，同學(xué)們?”，那咱們今天就來(lái)約一次，探討怎么解決“最大公約數(shù)”與“最小公倍數(shù)”問(wèn)題。

我們首先來(lái)了解下關(guān)于公約數(shù)與公倍數(shù)的一些基本定義和核心知識(shí)點(diǎn)：

1.定義

(1)約數(shù)與倍數(shù)

若數(shù)a能被b整除，則稱(chēng)數(shù)a為數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b為數(shù)a的約數(shù)。其中，一個(gè)數(shù)的最小約數(shù)是1，則最大約數(shù)是它本身。

(2)公約數(shù)與最大公約數(shù)

幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。

公約數(shù)中最大的一個(gè)，稱(chēng)為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。

(3)公倍數(shù)與最大公倍數(shù)

幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。

公倍數(shù)中最小的一個(gè)，稱(chēng)為這幾個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。

考試題型一般是已知兩個(gè)數(shù)，求它們的最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)。

2.核心知識(shí)點(diǎn)

(1)兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

一般采用短除法，即用共同的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，直到所得的商互質(zhì)為止。

l把共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

l把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

如：求24、36的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。

24、36的最大公約數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)的乘積，即2×2×3=12;

24、36的最小公倍數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)及獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的乘積，即(2×2×3)×(2×3) =72。

(2)三個(gè)數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

l求取三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，短除至三個(gè)數(shù)沒(méi)有共同的因數(shù)(除1外)，然后把所有共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)。

l求取三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，短除到三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，然后把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)。

如：求24、36、90的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。

3.核心知識(shí)使用詳解

(1)兩個(gè)數(shù)如果存在著倍數(shù)關(guān)系，那么較小的數(shù)就是其最大公約數(shù)，較大的數(shù)就是其最小公倍數(shù)。

(2)互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。

(3)利用短除法求取三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)要注意二者的區(qū)別：求取三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，只需短除到三個(gè)數(shù)沒(méi)有共同的因數(shù)(除l外)即可;而求取三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，需要短除到三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)為止。

(4)多于三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求法與三個(gè)數(shù)的求法相似。

約數(shù)和倍數(shù)的考點(diǎn)屬于基礎(chǔ)計(jì)算問(wèn)題的范疇，國(guó)考數(shù)學(xué)運(yùn)算的部分現(xiàn)在單獨(dú)考察基礎(chǔ)計(jì)算的題型不多，但是對(duì)于約束/倍數(shù)和其他考點(diǎn)結(jié)合的題型考察較頻繁，如最大公約數(shù)和植樹(shù)問(wèn)題的雜糅以及最小公倍數(shù)和時(shí)間問(wèn)題的雜糅等題型，接下來(lái)通過(guò)下面的例子來(lái)了解這些知識(shí)點(diǎn)是如何應(yīng)用的，首先來(lái)看一下倆個(gè)數(shù)字最大公約數(shù)求解的問(wèn)題：

【例1】(2012-安徽-68)如圖，街道XYZ在Y處拐彎，XY=1125米，YZ=855米，在街道一側(cè)等距裝路燈，要求X,Y,Z處各裝一盞路燈，這條街道最少要安裝多少盞路燈?(　　)

A. 47B. 46

C. 45D. 44

【答案】C

【解析】本題為植樹(shù)問(wèn)題，街道要安裝路燈最少，則間隔要盡量的大，但側(cè)等距裝路燈，并要求X,Y,Z處各裝一盞路燈，則兩盞路燈之間的間隔應(yīng)該為兩條路長(zhǎng)度的最大公約數(shù)，1125和855的最大公約數(shù)為45，1125÷45=25，855÷45 =19，根據(jù)植樹(shù)問(wèn)題的公式：棵數(shù)=路長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)+1，因此需安裝路燈25+19+1=45，故本題應(yīng)選C。

而在考試當(dāng)中涉及到三個(gè)數(shù)字的最大公約數(shù)尤其是最小公倍數(shù)的問(wèn)題考察是非常廣泛的，如下面的例題：

【例2】三根鐵絲，長(zhǎng)度分別是120厘米，180厘米，300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段?

A.8B.9

C.10D.11

【答案】 C

【解析】要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段，則每段的長(zhǎng)度應(yīng)為三根鐵絲的最大公約數(shù)， 通過(guò)短除法可知120、180和300的最大公約數(shù)為：2×2×3×5=60。

所以每小段的長(zhǎng)度最大是60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。因此，正確答案為C選項(xiàng)。

【例3】6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果用1分、2分、5分硬幣分別疊成的三個(gè)圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有多少枚?

A.180B.181

C.182D.183

【答案】 C

【解析】 根據(jù)“6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高”，其中6、5、5的最小公倍數(shù)為30，則：36枚1分硬幣、30枚2分硬幣、25枚5分硬幣疊成的圓柱體一樣高;此時(shí)這些硬幣的幣值之和為221分，恰好為2元2角1分，是4元4角2分的一半，故4元4角2分由72枚1分硬幣、60枚2分硬幣和50枚5分硬幣組成，即共有硬幣72+60+50=182枚。因此，選C。

數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題不但單獨(dú)考察最小公倍數(shù)，還會(huì)結(jié)合時(shí)間問(wèn)題來(lái)考察最小公倍數(shù)的求解

【例4】甲、乙、丙、丁四個(gè)人去圖書(shū)館借書(shū)，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個(gè)人在圖書(shū)館相遇，問(wèn)下一次四個(gè)人在圖書(shū)館相遇是幾月幾號(hào)?

A.10月18日B.10月14日

C.11月18日D.11月14日

【答案】 D

【解析】 每隔n天去一次即每(n+1)天去一次，那么：甲每5+1=6天去一次圖書(shū)館，乙每11+1=12天去一次圖書(shū)館，丙每17+1=18天去一次圖書(shū)館，丁每29+1=30天去一次圖書(shū)館;要求下次相遇，也就是求6、12、18、30這四個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，根據(jù)短除法，求出該值為180，即再過(guò)180天，四個(gè)人才能夠再次在圖書(shū)館相遇，5月18日再經(jīng)過(guò)180天，大概六個(gè)月左右，所以此時(shí)為11月14日。因此，正確答案為D選項(xiàng)。

相信通過(guò)以上的例題，大家都能夠?qū)�公約數(shù)和公倍數(shù)問(wèn)題有所掌握，那么咱么這次的“約會(huì)”就沒(méi)有白白的浪費(fèi)，希望大家都能有所收獲，預(yù)祝大家都能考的成功、考的漂亮。

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