國考問題-幾何最值問題淺談

幾何問題幾乎是每次行政職業(yè)能力測試的必考內(nèi)容，通常來講常規(guī)的幾何問題一般難度都不大，只要大家掌握常見的幾何定理，幾何計算公式都較容易解決。但是關(guān)于幾何問題偶爾會考到一些與最值相關(guān)的題目，這些題目比較講求技巧性。今天我就給大家簡單介紹一下部分幾何最值問題求解的思路。

我們知道在平面圖形當(dāng)中，如果一個圖形的周長一定，則這個圖形的形狀越接近于圓其面積越大。

其形式我們可以想象成一群小朋友在上體育課，按照老師的要求，所有小朋友手拉手圍成一圈，那么這一圈的周長就是所有小朋友臂展的加和。剛開始時，大家聚集在一起，胳膊沒有完全伸展開，中間圍起來的空地面積會相對較小。隨著老師口令，大家逐漸向后退，中間的空地會越來越大，但這一過程中大家手一直拉在一起，整個隊伍的周長一直是所有小朋友臂展的加和。直到大家的胳膊完全伸展開，此時隊伍會呈現(xiàn)一個很標準的圓形，中間的空地面積達到最大。如果再大，大家就沒法保持手拉手狀態(tài)了。

其形式我們可以想象成一群小朋友在上體育課，按照老師的要求，所有小朋友手拉手圍成一圈，那么這一圈的周長就是所有小朋友臂展的加和。剛開始時，大家聚集在一起，胳膊沒有完全伸展開，中間圍起來的空地面積會相對較小。隨著老師口令，大家逐漸向后退，中間的空地會越來越大，但這一過程中大家手一直拉在一起，整個隊伍的周長一直是所有小朋友臂展的加和。直到大家的胳膊完全伸展開，此時隊伍會呈現(xiàn)一個很標準的圓形，中間的空地面積達到最大。如果再大，大家就沒法保持手拉手狀態(tài)了。

根據(jù)這一條幾何最值理論，考試時便可以設(shè)計一道幾何最值的題目，比如：

【例1】某健身館準備將一塊周長為100米的長方形區(qū)域劃為瑜伽場地，將一塊周長為160米的長方形區(qū)域劃為游泳場館。若瑜伽場地和游泳場館均是滿足周長條件下的最大面積，問兩塊場地面積之差為多少平方米?

A. 625

B. 845

C. 975

D. 1150

在本題中，瑜伽場地為周長為100米的長方形區(qū)域，題目需要求得瑜伽場地的最大面積。根據(jù)上面的幾何最值理論，此問題符合周長一定的前提條件，所以當(dāng)這塊區(qū)域為正方形時面積最大，即如下圖1所示，正方形的邊長應(yīng)為25米，其面積為625平方米。

同理，游泳館場地為周長為160米的長方形區(qū)域，當(dāng)這塊區(qū)域為正方形時面積最大，即如上圖2所示，正方形的邊長應(yīng)為40米，其面積為1600平方米。

所以，兩塊場地面積之差為1600-625=975平方米，選擇C選項。

如果我們僅僅理解到此題的程度，只能算是形式上理解了這條最值理論。實際應(yīng)用這條理論具體計算題目時，核心的計算方法依據(jù)的是如果兩個數(shù)的和一定，那么當(dāng)兩個數(shù)相等時候這兩個數(shù)的積最大。表示成算式就是如果X+Y=M，(X，Y，M均為正數(shù))，當(dāng)X=Y=M2時，XY取得最大值。

比如上題中的瑜伽場地，如果我們設(shè)他的長為a、寬為b，有(a+b)×2=100米，a+b=50米，最大面積即為ab的最大值，只有當(dāng)a=b=25米時，ab取得最值，ab=25×25=625平方米。

所以在解題時要注意結(jié)合以上兩種思路來檢驗自己的解題方法是否準確。

比如：

【例2】某農(nóng)家要建造一個新的矩形雞圈，如圖所示，該雞圈一面靠圍墻，另外三面共使用了200米長的鐵絲網(wǎng)，問如果想讓雞圈的面積最大，雞圈的長和寬比值應(yīng)為多少?

A. 1∶1

B. 2∶1

C. 3∶2

D. 7∶3

在求解本題時，如果大家不理解上面我們說的第二種思路，便會誤認為雞圈為正方形時面積最大，實際上本題的情況并不滿足周長一定。因為隨著雞圈長寬的變化，利用的圍墻長度也在變化。如按圖中所示，應(yīng)該是a+2b=200米，除圍墻外三邊的總長度是固定的。

正確的方法應(yīng)該按第二種思路處理，如果a與2b的和一定，當(dāng)a=2b=時，a×2b最大，則a×b也最大。所以，a：b=2：1，B選項是正確答案。

希望通過這樣兩個例題詳細解釋，能夠給大家關(guān)于幾何最值問題的學(xué)習(xí)提供必要幫助。

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