2022國考行測數量關系干貨之容斥問題巧解方法

行測中的容斥問題一直以來都是學員的痛點，學員喜歡用公式去解這類題，然而對于復雜的容斥問題，只用公式是很難解題的。鑒于這種情況，筆者建議廣大學員靈活運用容斥原理，結合畫圖法能夠輕松解決容斥問題。

那么什么是容斥原理呢?很簡單，多個集合(一般是兩個或者三個)在計數的時候，不考慮重復的情況，先將各個集合的所有對象的數量“包容”進來，然后再把重復計數的數量“排斥”出去。下面，筆者將通過畫圖法對兩種題型進行詳細的講解。

題型一：兩集合容斥問題

兩集合容斥問題抽象出來就是“符合A類，符合B類，A、B都符合”結合畫圖法表示如下：

其中：A類的數量=圖形1的面積+圖形2的面積(簡寫成A=1+2)

B類的數量=圖形2的面積+圖形3的面積(簡寫成B=2+3)

圖形1的面積=只符合A類的數量(符合A不符合B的數量)

圖形2的面積=既符合A類又符合B類的數量(簡稱都符合)

圖形3的面積=只符合B類的數量(符合B不符合A的數量)

圖形4的面積=既不符合A類又不符合B類的數量(簡稱都不，有些題目中沒有都不一項)

總體的數量=A+B-2+4

例1：某單位有60名運動員參加運動會開幕式，他們著裝白色或黑色上衣，黑色或藍色褲子。其中有12人穿白上衣藍褲子，有34人穿黑褲子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑褲子的有多少人?

A. 12

B. 14

C. 15

D. 29

【答案】C

【解析】：第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類

第二步，將穿黑褲子看成符合A類，將穿黑上衣看成符合B類，那么穿白上衣藍褲子就是都不符合，而問題問的是都符合，設數量為x，運用畫圖法如下圖所示即60=34+29-x+12，解得x=15。

因此，選擇C選項。

例2：某公司100名員工對甲、乙兩名經理進行滿意度評議，對甲滿意度的人數占全體參加評議的3/5，對乙滿意的人數比甲的人數多6人，對甲乙都不滿意的占對甲乙都滿意人數的1/3多2人，則對甲乙都滿意的人數是多少?

A. 36人

B. 26人

C. 48人

D. 42人

【答案】D

【解析】：第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類。

第二步，將對甲滿意看成符合A類，將對乙滿意看成符合B類，而問題問的是都符合設其數量為x，對甲乙都不滿意的數量為x/3+2。

第三部，運用畫圖法如下圖所示，即100=60+66-x+ x/3+2，解得x=42。

因此，選擇D選項。

題型二：三集合容斥問題

三集合容斥問題抽象出來就是“符合A類，符合B類，符合C類，都符合”結合畫圖法表示如下：

其中A類的數量=圖形1 +圖形4 +圖形5積+圖形6的總面積(簡寫成A=1+4+5+6)

B=2+4+5+7，C=3+4+6+7

圖形1的面積=只符合A類的數量

圖形2的面積=只符合B類的數量

圖形3的面積=只符合C類的數量

圖形4的面積=三類都符合的數量

圖形8的面積=三類都不符合的數量(有些題目中沒有都不一項)

考點1：4+5=既符合A又符合B的數量

4+6=既符合A又符合C的數量

4+7=既符合B又符合C的數量

考點2：5+6+7=符合兩種類型的數量(即只符合兩種類型的總數量)

總體的數量=A+B+C-(4+5)-(4+6)-(4+7)+4+8(考點1)

總體的數量=A+B+C-(5+6+7)-圖形4面積的兩倍+8(考點2)

例3：對39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進行調查，結果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15種，含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙的有9種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種?

A. 4

B. 6

C. 7

D. 9

【答案】A

【解析】：第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類。

第二步，這道題屬于三集合容斥問題考點1，把含有甲維生素看成符合A類，含有乙維生素看成符合B類，含有丙維生素看成符合C類，而問題問的是三類都符合的數量設為x。

第三步，運用畫圖法如下圖所示，即39=17+18+15-7-6-9+x+7，解得x=4。

因此，選擇A選項。

小結：此題屬于考點1，畫圖標數的時候要注意符合A與B類，符合A與C類，符合B與C類區(qū)域，在圖中分別用箭頭把三個區(qū)域的不同數量標示出來，比如此題中的“含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙的有9種”。

例4：某鄉(xiāng)鎮(zhèn)舉行運動會，共有長跑、跳遠和短跑三個項目。參加長跑的有49人，參加跳遠的有36人，參加短跑的有28人，只參加其中兩個項目的有13人，參加全部項目的有9人。那么參加該次運動會的總人數為多少?

A. 75

B. 82

C. 88

D. 95

【答案】B

【解析】：第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類。

第二步，這道題屬于三集合容斥問題考點2，把長跑看成符合A類，跳遠看成符合B類，短跑看成符合C類，而問題問的是總體的數量設為x。

第三步，運用畫圖法如下圖所示即x=49+36+28-13-2×9，解得x=82。

因此，選擇B選項。

小結：此題屬于考點2，畫圖標數的時候要注意只符合兩種類型的區(qū)域，在圖中總共有3個小區(qū)域，在這里可以標上符合△，表示△區(qū)域總面積為只符合兩種類型的總數量，比如此題中的“只參加其中兩個項目的有13人”。同時，這道題并沒有給出都不符合的條件，故不需要畫出最外邊的方框。

例5：對某單位的100名員工進行調查，結果發(fā)現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人?

A. 22

B. 28

C. 30

D. 36

【答案】A

【解析】：第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類。

第二步，這道題屬于三集合容斥問題的考點1，但是在此基礎上加大了一點兒難度。把看球賽看成符合A，看戲劇看成符合B，看電影看成符合C，題目中沒有給出都不喜歡這個條件，所以本題畫圖時不用畫方框，并且缺少既符合B又符合C這個條件，所以常規(guī)解法受阻。

第三步，由于問題求的是只喜歡看電影的人數，即是求下圖a中陰影部分面積，設其為x，運用畫圖法如下圖b所示。圖a中除開陰影部分，剩下部分面積即為求兩集合容斥問題的數量，那么總面積=陰影部分面積+剩下部分面積。即100=x+(58+38-18)，解得x=22。

因此，選擇A選項。

圖a

圖b

總結：這五道題充分利用了畫圖法的特性—直觀性，使得解題過程極其簡單，而且容易想到。所以筆者建議學員用畫圖法去解充斥問題，就再也不用糾結公式中字母的數學含義，能在做題的過程當中達到事半功倍的效果。

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