2022國考行測數資均值不等式的函數題目應用

均值不等式是行測數資經常會考查的對象，這個知識點也經常會運用到實際生活中，但在理解上存在難度，所以我們遇到這類考察題目時，總是拿捏不到考點，造成失分或者白白浪費了寶貴的思考時間。下面我們就通過一道題目具體講講這些思想方法是如何切入函數題目的。

【例題】

某苗木公司準備出售一批苗木，如果每株以4元出售，可賣出20萬株，若苗木單價每提高0.4元，就會少賣10000株，問在最佳定價的情況下，該公司最大收入是多少萬元?

A.60 B.80

C.90 D.100

【解析】

第一步，確認本題考查最值問題。

第二步，結合題目信息，“每株以4元出售，可賣出20萬株”，得出是多件商品問題求總收入的最值，只能使用總收入=單株收入×株樹的方程列式。根據信息“苗木單價每提高0.4元，就會少賣10000株”，假定提高了n個0.4元時，總收入取得最大值。

第三步，列式得到：(4+0.4n)×(20-n)，變化一下形式，將0.4提公因子，得到0.4×(10+n)×(20-n)，運用均值不等式原理，使10+n=20-n，解得n=5，將n=5代入原式中，得到(4+0.4×5)×(20-5)=90。

因此，本題選擇C選項。

【總結】

這類題有多種解法，我們一一對比一下，再看看為什么一定讓大家堅決學會均值不等式的原理解決本題。

解法一：當列出了(4+0.4n)×(20-n)式子后，存在一個很大的問題，此式子是一元二次方程所形成的一元二次函數求最值。很多同學忘記了怎么處理一元二次函數�？煽紤]反向思維，使用代入排除，因為實際情況下，提價應該不會提得太高，可考慮將n=1、2、3、4……，依次代入，這是沒有辦法的辦法。

解法二：對于很多初中函數基礎打得較好的人，可能會立刻想到利用二次函數y=ax2+bx+c最值問題的數形結合求解。如下圖所示：

將(4+0.4n)×(20-n)變換成-0.4n2+4n+80，將a=-0.4、b=4代入-亦可解得。

解法三：利用數形結合以及二次函數的對稱性，令y=0.4×(10+n)×(20-n)，解得n=-10和20，在函數圖形上找到n=-10和20的中點，也可解得。

解法四：根據均值不等式原理：針對，滿足“一正、二定、三相等，積定和最小，和定積最大”。一正表示a、b均為正值，二定表示a+b的和為定值，三相等表示當a=b時，可取得最值。將這個原理運用在這種題目中的思維方式是，將式子0.4×(10+n)×(20-n)中的(10+n)引申為a，(20-n)引申為b，就可以解釋上述解法了。

曾經的考題中，這種函數題目在經濟利潤、幾何問題等題目中都有考查，當明白了這個引申的思維，以后遇到類似的題目就會很快得出答案的。

【思維導圖】

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