2022國(guó)考行測(cè)數(shù)資均值不等式的函數(shù)題目應(yīng)用

均值不等式是行測(cè)數(shù)資經(jīng)常會(huì)考查的對(duì)象，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)也經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到實(shí)際生活中，但在理解上存在難度，所以我們遇到這類(lèi)考察題目時(shí)，總是拿捏不到考點(diǎn)，造成失分或者白白浪費(fèi)了寶貴的思考時(shí)間。下面我們就通過(guò)一道題目具體講講這些思想方法是如何切入函數(shù)題目的。

【例題】

某苗木公司準(zhǔn)備出售一批苗木，如果每株以4元出售，可賣(mài)出20萬(wàn)株，若苗木單價(jià)每提高0.4元，就會(huì)少賣(mài)10000株，問(wèn)在最佳定價(jià)的情況下，該公司最大收入是多少萬(wàn)元?

A.60 B.80

C.90 D.100

【解析】

第一步，確認(rèn)本題考查最值問(wèn)題。

第二步，結(jié)合題目信息，“每株以4元出售，可賣(mài)出20萬(wàn)株”，得出是多件商品問(wèn)題求總收入的最值，只能使用總收入=單株收入×株樹(shù)的方程列式。根據(jù)信息“苗木單價(jià)每提高0.4元，就會(huì)少賣(mài)10000株”，假定提高了n個(gè)0.4元時(shí)，總收入取得最大值。

第三步，列式得到：(4+0.4n)×(20-n)，變化一下形式，將0.4提公因子，得到0.4×(10+n)×(20-n)，運(yùn)用均值不等式原理，使10+n=20-n，解得n=5，將n=5代入原式中，得到(4+0.4×5)×(20-5)=90。

因此，本題選擇C選項(xiàng)。

【總結(jié)】

這類(lèi)題有多種解法，我們一一對(duì)比一下，再看看為什么一定讓大家堅(jiān)決學(xué)會(huì)均值不等式的原理解決本題。

解法一：當(dāng)列出了(4+0.4n)×(20-n)式子后，存在一個(gè)很大的問(wèn)題，此式子是一元二次方程所形成的一元二次函數(shù)求最值。很多同學(xué)忘記了怎么處理一元二次函數(shù)。可考慮反向思維，使用代入排除，因?yàn)閷?shí)際情況下，提價(jià)應(yīng)該不會(huì)提得太高，可考慮將n=1、2、3、4……，依次代入，這是沒(méi)有辦法的辦法。

解法二：對(duì)于很多初中函數(shù)基礎(chǔ)打得較好的人，可能會(huì)立刻想到利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c最值問(wèn)題的數(shù)形結(jié)合求解。如下圖所示：

將(4+0.4n)×(20-n)變換成-0.4n2+4n+80，將a=-0.4、b=4代入-亦可解得。

解法三：利用數(shù)形結(jié)合以及二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，令y=0.4×(10+n)×(20-n)，解得n=-10和20，在函數(shù)圖形上找到n=-10和20的中點(diǎn)，也可解得。

解法四：根據(jù)均值不等式原理：針對(duì)，滿(mǎn)足“一正、二定、三相等，積定和最小，和定積最大”。一正表示a、b均為正值，二定表示a+b的和為定值，三相等表示當(dāng)a=b時(shí)，可取得最值。將這個(gè)原理運(yùn)用在這種題目中的思維方式是，將式子0.4×(10+n)×(20-n)中的(10+n)引申為a，(20-n)引申為b，就可以解釋上述解法了。

曾經(jīng)的考題中，這種函數(shù)題目在經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)、幾何問(wèn)題等題目中都有考查，當(dāng)明白了這個(gè)引申的思維，以后遇到類(lèi)似的題目就會(huì)很快得出答案的。

【思維導(dǎo)圖】

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