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公務員模擬題某市江濱有一處邊長為50米的等邊三角形廣場。廣場里設

2021-07-23 09:01:04 公務員考試網(wǎng) 文章來源：華圖教育

【導讀】本題由公務員考試網(wǎng)提供試題資料，試題內容來源2021年0327河北公務員考試《行測》真題（網(wǎng)友回憶）中的行測試卷中的第三部分數(shù)量關系，以下為試題詳細信息及解析，需要試題資料的小伙伴可以添加華圖教育官方公眾號huatuv獲取試題資料。

【試題】某市江濱有一處邊長為50米的等邊三角形廣場。廣場里設計有三個大小相等的圓環(huán)鵝卵石道路供市民散步，如圖所示，各圓相切，各圓與三角形也相切，問沿三個圓環(huán)外圍石道（不含圓切點之間的弧）散步一圈約為多少米？

A.95

B.105

C.115

D.125

【解析】解法一：第一步，本題考查幾何計算。
第二步，如下圖。

連接三個內切圓的圓心，可知為等邊三角形，三個圓之間的弧心角都為60°，可知三個圓之間的弧長各自占三個小圓周長的 $\frac {1} {6}$ ，剩余部分占三個小圓周長的 $\frac {5} {6}$ ，根據(jù)圓周長公式2πr，則三個圓外弧長石道為2πr× $\frac {5} {6}$ ×3=5πr，求出小圓半徑即可。
第三步，如下圖所示。

做出等邊三角形的三條角平分線，交于一點O。根據(jù)等邊三角形的性質可知∠EOP=60°；小圓圓心P引垂線交BD于E，由于相切可知三角形EOP是直角三角形，則小圓半徑EP=r= $\sqrt {3}$ OE。又因BE=BF=25= $\frac {\sqrt {3}} {2}$ BO，可知BO= $\frac {50} {\sqrt {3}}$ ，則OE=BO-BE= $\frac {50} {\sqrt {3}}$ －25，可知r=50－25 $\sqrt {3}$ ≈25×（2－1.732）=6.7。則三個圓外弧長石道為5πr≈105.19。
因此，選擇B選項。
解法二：第一步，本題考查幾何計算。
第二步，連接三個內切圓的圓心，可知為等邊三角形，三個圓之間的弧心角都為60°，可知三個圓之間的弧長各自占三個小圓周長的 $\frac {1} {6}$ ，剩余部分占三個小圓周長的 $\frac {5} {6}$ ，則三個圓外弧長石道為2πr× $\frac {5} {6}$ ×3=5πr，求出小圓半徑即可。
第三步，如圖所示。

做輔助線BE垂直AC，則∠EBC=30°，小圓圓心O引垂線交BC于P,連接OB，則平分∠EBC，可得，∠OBC=15°，根據(jù)tan15°= $\frac {OP} {BP}$ ≈0.268，BP=25，可得OP=6.7，則三個圓外弧長石道為5πr≈5×3.14×6.7=105.19。
因此，選擇B選項。
小貼士：如何求解tan15°。tan（α－β）= $\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\times\tan\beta}$ ，則tan15°=tan（60°－45°）= $\frac {\tan {6}{0}^{\circ }-\tan {4}{5}^{\circ }} {1+\tan {6}{0}^{\circ }\times \tan {4}{5}^{\circ }}$ ，tan60°= $\sqrt{3}$ ，tan45°=1，可得tan15°= $\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}\times1}=2-\sqrt{3}$ ≈2－1.732=0.268。